Milindaの書斎

母国語と外国語を行ったり来たりしながら、自分なりに「書くこと」を追求したいと思います。

数学 9


微分積分はやはり花形ですから、教えられるようになりたいなと思います。

まずは極限値の問題を1つ改題してみます。ここから発展していければいいのですが。


【問題】
次の極限値を求めよ。

(1)  \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^3-2x^2-4x+8}{(x-2)^2}

福井工大 改題)

(2)  \displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{x^2+3x-9}-3}{x-3}

青山学院大 改題)


答えは下に






【解答】
(1) 単に x = 2 を代入するだけでは  \frac{0}{0} となってしまい、正しい極限値とならない.

 x^3-2x^2-4x+8
=x^3-4x^2+4x+2x^2-8x+8 *1
 =x(x^2-4x+4)+2(x^2-4x+4)
 =(x^2-4x+4)(x+2)
 =(x-2)^2(x+2)

よって、
 \lim_{x \to 2}\frac{x^3-2x^2-4x+8}{(x-2)^2}
 =\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)^2(x+2)}{(x-2)^2}
 =\lim_{x \to 2}(x+2)
 =4(答)


(2) x = 3 を代入するとやはり  \frac{0}{0} となってしまうので、式を変形する必要がある.

分母と分子にそれぞれ
 \sqrt{x^2+3x-9}+3 をかけると


 \frac{(\sqrt{x^2+3x-9}-3)(\sqrt{x^2+3x-9}+3)}{(x-3)(\sqrt{x^2+3x-9}+3)}

 = \frac{x^2+3x-9-3^2}{(x-3)(\sqrt{x^2+3x-9}+3)}

 = \frac{x^2+3x-18}{(x-3)(\sqrt{x^2+3x-9}+3)}

 = \frac{(x+6)(x-3)}{(x-3)(\sqrt{x^2+3x-9}+3)}

 = \frac{x+6 }{\sqrt{x^2+3x-9}+3}

よって
 \lim_{x \to 3}\frac {x+6 }{\sqrt{x^2+3x-9}+3}
 =\frac{3+6}{3+3}
 =\frac{3}{2}(答)

*1:初見でこの変形に気づけるかどうかなんだよな…(笑)