数学 8 - Milindaの書斎

足の痛みがだいぶ和らいできたので、ぼちぼち数学の問題も作っていきます（数学は私にとって最も大変な作業なので、なかなか寝転がってスマホでやるというわけにはいきませんでした）。

まずは無理をせずに中学数学の範囲でやってみます。

【問題】
$\sqrt{n^2\ +\ 37}\$ が整数になるような自然数 n を求めよ。
（千葉・東邦大附属東邦高校　改題）

答えは下に

↓

【解答】
$\sqrt{n^2\ +\ 37}\ =\ a\$ （a は整数）とおく。

両辺を2乗して
$n^2\ +\ 37\ =\ a^2$
$a^2\ -\ n^2\ =\ 37\$
$(a\ +\ n)(a\ -\ n)\ =\ 37\$

このとき，a と n はともに正の整数であるから(a + n)，(a - n)も整数．かつ a - n < a + n，n < a

37 の素因数は 1 と 37 しかないので，
(a + n)(a - n) = 37 となるとき
$a + n = 37\ \cdots\ ①$
$a - n = 1\ \cdots\ ②$

① + ② より
2a = 38
a = 19
これを ① に代入して
n = 18 （答）

検算してみると
$\sqrt{18\ ×\ 18\ +\ 37}\ =\ \sqrt{324+37}\ =\ \sqrt{361}\$
$\sqrt{361}\ =\ 19$ であるから，確かに整数となっている．