Milindaの書斎

読んだこと、考えたことなどを書き留めます。外国語はたまに。

数学 6


【問題】
 i = \sqrt{-1} とする.次の問いに答えよ.
(1) z^2 = 4i を満たす複素数 z をすべて求めよ.
(2) z^4 + 16 = 0 を満たす複素数 z をすべて求めよ.

横浜市立大 改題)


答えは下に。






【解答】
(1)
複素数 z を  a + bi(a,b はともに実数)とおく.
 (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = a^2 - b^2 + 2abi


 z^2 = 4i なので
 a^2 - b^2 + 2abi = 4i


等式が成り立つなら実部と虚部がそれぞれ等しいはずだから,
 a^2 - b^2 = 0\ \ \cdots①
 ab = 2\ \ \cdots➁


①より  a = \pm b
しかし a = -b を➁に代入すると
 -b^2 = 2
となってしまう.a,b はともに実数なので,これは不適.
よって a = b


➁に a = b を代入して,
 a^2 = 2
 a = b = \pm\sqrt{2}


よって
 z = \pm (\sqrt{2} + \sqrt{2} i)(答)


〈メモ〉
 z^2 = 4iから, z = \pm\sqrt{4i} = \pm 2\sqrt{i} などと安直に考えてはいけない.
そもそも虚数単位とは \sqrt{-1} のことなのだから,
 \sqrt{i} = \sqrt{\sqrt{-1}} である.
この「虚数でしかも二重根号」という状態を数学的にうまく説明できないので(できたとしても高校数学の範囲を超える?)、正答とは認められない.
……なんか問題集の解説を読む限りそういうことのようです.


(2)
 z^4 + 16 = 0 より
 z^4 = -16
 z^2 = \pm 4i


ここで z^2 = 4i のとき,問題(1)の結果より
 z = \pm (\sqrt{2} + \sqrt{2} i)


 z^2 = -4i のとき,
 z = a + bi(a,b はともに実数)とおくと,


 z^2 = (a + bi)^2 = a^2 -b^2 + 2abi = -4i


実部と虚部を比較して
 a^2 -b^2 = 0\ \ \cdots\ ①
 2ab = -4 \ \ \cdots\ ②

①より  a = \pm b
もし a = b だとすると,②に代入して
 2a^2 = -4
a,b はともに実数なので不適.
よって a = -b.これを②に代入して

 -2a^2 = -4
 a^2 = 2
 a = \pm \sqrt{2}
すると
 z = \pm (\sqrt{2} - \sqrt{2}i)

ゆえに
 z = \pm (\sqrt{2} + \sqrt{2} i),\ \pm (\sqrt{2} - \sqrt{2} i)(答)