【問題】
とする.次の問いに答えよ.
(1) を満たす複素数 z をすべて求めよ.
(2) を満たす複素数 z をすべて求めよ.
(横浜市立大 改題)
答えは下に。
↓
↓
↓
↓
↓
【解答】
(1)
複素数 z を (a,b はともに実数)とおく.
なので
等式が成り立つなら実部と虚部がそれぞれ等しいはずだから,
①より
しかし a = -b を➁に代入すると
となってしまう.a,b はともに実数なので,これは不適.
よって
➁に a = b を代入して,
よって
(答)
〈メモ〉
から,
などと安直に考えてはいけない.
そもそも虚数単位とは のことなのだから,
である.
この「虚数でしかも二重根号」という状態を数学的にうまく説明できないので(できたとしても高校数学の範囲を超える?)、正答とは認められない.
……なんか問題集の解説を読む限りそういうことのようです.
(2)
より
ここで のとき,問題(1)の結果より
のとき,
(a,b はともに実数)とおくと,
実部と虚部を比較して
①より
もし a = b だとすると,②に代入して
a,b はともに実数なので不適.
よって a = -b.これを②に代入して
すると
ゆえに
(答)