Milindaの書斎

読んだこと、考えたことなどを書き留めます。外国語はたまに。

数学 6

数学

【問題】
$i = \sqrt{-1}$ とする．次の問いに答えよ．
（1） $z^2 = 4i$ を満たす複素数 z をすべて求めよ．
（2） $z^4 + 16 = 0$ を満たす複素数 z をすべて求めよ．

（横浜市立大　改題）

答えは下に。

↓

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【解答】
（1）
複素数 z を $a + bi$ （a，b はともに実数）とおく．
$(a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = a^2 - b^2 + 2abi$

$z^2 = 4i$ なので
$a^2 - b^2 + 2abi = 4i$

等式が成り立つなら実部と虚部がそれぞれ等しいはずだから，
$a^2 - b^2 = 0\ \ \cdots①$
$ab = 2\ \ \cdots➁$

①より $a = \pm b$
しかし a = -b を➁に代入すると
$-b^2 = 2$
となってしまう．a，b はともに実数なので，これは不適．
よって $a = b$

➁に a = b を代入して，
$a^2 = 2$
$a = b = \pm\sqrt{2}$

よって
$z = \pm (\sqrt{2} + \sqrt{2} i)$ （答）

〈メモ〉
$z^2 = 4i$ から， $z = \pm\sqrt{4i} = \pm 2\sqrt{i}$ などと安直に考えてはいけない．
そもそも虚数単位とは $\sqrt{-1}$ のことなのだから，
$\sqrt{i} = \sqrt{\sqrt{-1}}$ である．
この「虚数でしかも二重根号」という状態を数学的にうまく説明できないので（できたとしても高校数学の範囲を超える？）、正答とは認められない．
……なんか問題集の解説を読む限りそういうことのようです．

（2）
$z^4 + 16 = 0$ より
$z^4 = -16$
$z^2 = \pm 4i$

ここで $z^2 = 4i$ のとき，問題（1）の結果より
$z = \pm (\sqrt{2} + \sqrt{2} i)$

$z^2 = -4i$ のとき，
$z = a + bi$ （a，b はともに実数）とおくと，

$z^2 = (a + bi)^2 = a^2 -b^2 + 2abi = -4i$

実部と虚部を比較して
$a^2 -b^2 = 0\ \ \cdots\ ①$
$2ab = -4 \ \ \cdots\ ②$

①より $a = \pm b$
もし a = b だとすると，②に代入して
$2a^2 = -4$
a，b はともに実数なので不適．
よって a = -b．これを②に代入して

$-2a^2 = -4$
$a^2 = 2$
$a = \pm \sqrt{2}$
すると
$z = \pm (\sqrt{2} - \sqrt{2}i)$

ゆえに
$z = \pm (\sqrt{2} + \sqrt{2} i),\ \pm (\sqrt{2} - \sqrt{2} i)$ （答）