Milindaの書斎

読んだこと、考えたことなどを書き留めます。外国語はたまに。

数学 4

長くなったので最初に感想。

  • 数列の問題集が手元にあるので、しばらく数列の問題を改題していこうと思います。
  • 今回から数式の表示にLaTeXを取り入れ始めています。スマホで見た時に「≦」が文字化けしてしまいますが、原因が分かりません。

→と思ったけどちゃんと表示できているよう?

  • 過程を丁寧に書こうとしたら、ずいぶんと長くなってしまいました。問題集の解説がときどき不親切になるのも、詳しく書いたらキリがないからなのでしょうね。


【問題】

二項係数を次のように並べて、数列{an}を作る.

 0C01C01C12C02C12C23C0 ,・・・

ただし,0C0 = 1 とする.

(1)a30 の値を求めよ.
(2)nCk は数列{an}の第何項になるか.
(3){
\displaystyle
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{100} a_n
\end{equation}
} の値を求めよ.
(岐阜大 改題)


答えは下に。









【解答】

(1)
{an}の各項を次のように群に分けると、第m群にはm個の項が含まれる。
第1群:0C0
第2群:1C01C1
第3群:2C02C12C2
 ・
 ・
 ・
第m群:m-1C0m-1C1・・・m-1Cm-2m-1Cm-1


第m群までの項数の和は
 1 + 2 +\ \cdots\ \ \cdots\ + (m - 1) +m ={
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{m(m + 1)}{2}
\end{equation}
}


もし a30 が第m群にあるとしたら、


{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{m(m - 1)}{2}
\end{equation}
}  < 30 \leqq {
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{m(m + 1)}{2}
\end{equation}
}


{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{m(m - 1)}{2}
\end{equation}
}  <\ 30 より


 m^2 - m - 60\ <\ 0


{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{1-\sqrt{241}}{2}
\end{equation}
}\ <\ m\ <\ {
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{1+\sqrt{241}}{2}
\end{equation}
} ・・・①


 30\ \leqq {
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{m(m + 1)}{2}
\end{equation}
} より


 0 \leqq m^2 + m - 60


 m\ \leqq{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{-1-\sqrt{241}}{2}
\end{equation}
}{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{-1+\sqrt{241}}{2}
\end{equation}
}  \leqq m・・・➁


{
\displaystyle
\begin{equation}
\sqrt{241}
\end{equation}
}  = 15.52\ \cdots\ \ \cdotsであり,かつ 0<m なので
これを満たす整数は 8.(答)*1


(2)
第m群にはm個の項が含まれることから、nCkは第(n + 1)群の(k + 1)番目の項である.

第(n + 1)群:
 nC0nC1nC2 ・・・ nCk(← k + 1 番目の項) ・・・ nCn (←群の最後に来るのは n + 1 番目の項)

また、第1群から第n群までの項数の和は {
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{n(n + 1)}{2}
\end{equation}
}だから,第(n + 1)群の(k + 1)番目の項は{an}の

{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{n(n + 1)}{2}
\end{equation}
} \ +\ (k + 1)番目の項である.(答)


(3)
まずa100が第何群にあるかを調べる.
第m群にあるとすると、(1)と同様にして


{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{m(m - 1)}{2}
\end{equation}
} <\ 100 \leqq\ {
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{m(m + 1)}{2}
\end{equation}
}


{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{m(m - 1)}{2}
\end{equation}
}  <\ 100 より


 m^2-m-200\ <\ 0


これを解いて


{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{1-\sqrt{801}}{2}
\end{equation}
} \ <\ m\ <\ {
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{1+\sqrt{801}}{2}
\end{equation}
}


また 100 \leqq\ {
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{m(m + 1)}{2}
\end{equation}
}より


 0 \leqq\ m^2+m-200


これを解いて


 m \leqq\ {
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{-1-\sqrt{801}}{2}
\end{equation}
}{
\displaystyle
\begin{equation}
\frac{-1+\sqrt{801}}{2}
\end{equation}
}  \leqq\ m


{
\displaystyle
\begin{equation}
\sqrt{801}
\end{equation}
}  = 28.30\ \cdots \ \cdotsであり,かつ 0<m なので m = 14

a100 は第14群にある.
第13群までの項数の和は 13・14・ 1/2 = 91
よってa100 は第14群の第9項.


ここで第m群の各項の和が分かれば,{
\displaystyle
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{100} a_n
\end{equation}
} を求めることができる.

第m群の各項の和は以下のように表せる.
  _{m-1}C_0\ +\ _{m-1}C_1\ +\ _{m-1}C_2\ +\ \cdots \cdots\ +\ _{m-1}C_{m-2}\ +\ _{m-1}C_{m-1}\ =
\displaystyle
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{m-1}\ _{m-1}C_k
\end{equation}

これは二項定理  \ (a + b)^n =\ 
{
\displaystyle
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{n}\ _{n}C_k\ a^{n-k}b^k
\end{equation}
}\ において
n = m - 1,a = b = 1 となるケースであるから*2

 \displaystyle
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{m-1}\ _{m-1}C_k
\end{equation}
= 2^{m-1}

第m群の各項の和が \ 2^{m-1}\ なのだから,第1群から第13群までのすべての項の和は *3


\displaystyle
\begin{equation}
\sum_{m=1}^{13}\ 2^{m-1}
\end{equation}
\ =\ 
\frac{2^{13}-1}{2-1}
=\ 8191 *4

また、第14群の第9項までの和は *5

 \ \ \ _{13}C_0\ +\ _{13}C_1\ +\ \cdots\ \cdots\ +\ _{13}C_7\ +\ _{13}C_8\\
\ \\
=\ 1\ +\ 13\ +\ 78\ +\ 286\ +\ 715\ +\ 1287\ +\ 1716\ +\ 1716\ +\ 1287\\
\ \\
=\ 7099


よって

\displaystyle
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{100}a_n
\end{equation}
=\ 8191\ +\ 7099\ =\ 15290(答)

*1:模範解答を見習って長々と書いたけど、1 + 2 + 3 +・・・が30を超えるまで計算すれば10秒くらいで解けるはず(笑)

*2:定理の応用に気づけないといけない。公式がうろ覚えな状態では気づけるはずもない。覚えよう。意味も分からずに数式を暗記するのはダメだが、理解した上で「いつでも思い出せる状態」にはしておく必要があると思う。

*3:「ある群の各項の和」と「第1群からある群までのすべての項の和」がこんがらがってしまわないよう注意。どっちもシグマだし。

*4:等比数列の和の公式を使う。初項1、公比2。

*5:公式を使ってスマートに解きたかったが、思いつかなかったので単純に足していった。電卓を使いました(笑)