また数列の問題を改題してみました。
改題って具体的に何をやっているのかというと「問題の数字を変えてみて、試しに解いてみて、問題がちゃんと成立していたら（解がある問題になっていたら）ブログにまとめる」という感じです。
【問題】
公比が実数の等比数列 ｛an｝（n = 1，2，3，・・・）がある．
｛an｝の初項から第3項までの和が 93，初項から第6項までの和が 11718 である．
｛an｝の初項から第n項までの積が50桁以上の数となる最小の n を求めよ．
ただし log102 = 0.3，log103 = 0.48 とする．
（山形大 改題）
答えは下に。
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【解答】
｛an｝の初項を a，公比を r とすると
a + ar + ar2 = 93 … ①
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5 = 11718 … ➁
➁を変形すると*1
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5
= a（1 + r + r2）+ ar3（1 + r + r2）
= （a + ar3）（1 + r + r2）
= a（1 + r3）（1 + r + r2）
= （1 + r3）（a + ar + ar2）
= 93（1 + r3） （∵ ①）
= 11718
よって
（1 + r3）= 11718 ÷ 93 = 126
r3 = 125
問題文より，r は実数なので*2
r = 5
これを①に代入して
a + 5a + 25a = 31a =93
a = 3
よって｛an｝の一般項は
3･5n-1
初項から第n項までの積を考えると*3
3 × 3･51 × 3･52 × 3･53× ・・・ ×3･5n-3 × 3･5n-2 × 3･5n-1
= 3n × 51+2+3+・・・+(n-3)+(n-2)+(n-1)
= 3n × 5n(n-1)/2
これが50桁以上の数になるので
1049 ≦ 3n × 5n(n-1)/2
10を底として対数をとると
49 ≦ log10（3n × 5n(n-1)/2)
= log103n + log105n(n-1)/2
= n･log103 + n(n-1)/2 ･log105
ここで
log105 = log10（10 ÷ 2）
= log1010 - log102
= 1 - 0.3 （∵問題文よりlog102 = 0.3）
= 0.7
また、問題文より log103 = 0.48
よって
n･log103 + n(n-1)/2 ･ log105
= 0.48n + 0.35n(n-1)
0.48n + 0.35n(n-1) ≧ 49 なので、整理すると
48n + 35n(n-1) ≧ 4900
35n2 + 13n - 4900 ≧ 0
二次方程式 35n2 + 13n - 4900 = 0 の解は（-13 ± √686169）/ 70 であり、
かつ 1 ≦ n であるから、
（-13 + √686169）/ 70 ≦ n *4
√686169 = 828.35・・・なので
（-13 + √686169）/ 70 = （815.35・・・）/ 70
= 11.647・・・
n は整数だから
11.647・・・≦ n を満たす最小の n は 12．