Milindaの書斎

読んだこと、考えたことなどを書き留めます。外国語はたまに。

数学 3


また数列の問題を改題してみました。

改題って具体的に何をやっているのかというと「問題の数字を変えてみて、試しに解いてみて、問題がちゃんと成立していたら(解がある問題になっていたら)ブログにまとめる」という感じです。


【問題】
公比が実数の等比数列 {an}(n = 1,2,3,・・・)がある.
{an}の初項から第3項までの和が 93,初項から第6項までの和が 11718 である.
{an}の初項から第n項までの積が50桁以上の数となる最小の n を求めよ.
ただし log102 = 0.3,log103 = 0.48 とする.
(山形大 改題)


答えは下に。







【解答】
{an}の初項を a,公比を r とすると
a + ar + ar2 = 93 … ①
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5 = 11718 … ➁

➁を変形すると*1
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5
= a(1 + r + r2)+ ar3(1 + r + r2
= (a + ar3)(1 + r + r2
= a(1 + r3)(1 + r + r2
= (1 + r3)(a + ar + ar2
= 93(1 + r3) (∵ ①)
= 11718
よって
(1 + r3)= 11718 ÷ 93 = 126
r3 = 125
問題文より,r は実数なので*2
r = 5
これを①に代入して
a + 5a + 25a = 31a =93
a = 3
よって{an}の一般項は
3・5n-1
初項から第n項までの積を考えると*3
3 × 3・51 × 3・52 × 3・53× ・・・ ×3・5n-3 × 3・5n-2 × 3・5n-1
= 3n × 51+2+3+・・・+(n-3)+(n-2)+(n-1)
= 3n × 5n(n-1)/2
これが50桁以上の数になるので
1049 ≦ 3n × 5n(n-1)/2
10を底として対数をとると
49 ≦ log10(3n × 5n(n-1)/2)
= log103n + log105n(n-1)/2
= n・log103 + n(n-1)/2 ・log105
ここで
log105 = log10(10 ÷ 2)
= log1010 - log102
= 1 - 0.3 (∵問題文よりlog102 = 0.3)
= 0.7
また、問題文より log103 = 0.48
よって
n・log103 + n(n-1)/2 ・ log105
= 0.48n + 0.35n(n-1)
0.48n + 0.35n(n-1) ≧ 49 なので、整理すると
48n + 35n(n-1) ≧ 4900
35n2 + 13n - 4900 ≧ 0
二次方程式 35n2 + 13n - 4900 = 0 の解は(-13 ± √686169)/ 70 であり、
かつ 1 ≦ n であるから、
(-13 + √686169)/ 70 ≦ n *4
√686169 = 828.35・・・なので
(-13 + √686169)/ 70 = (815.35・・・)/ 70
= 11.647・・・
n は整数だから
11.647・・・≦ n を満たす最小の n は 12.

*1:初見でこの変形に気づけるかどうかが問題なんだよな。高校時代の私ならまず気づけない(笑)。結局、問題演習してパターンを掴むしかないのか。

*2:他には虚数解 (-5 ± 5√3・i)/2 がある。「公比が実数の」とさらっと書いてある条件がここで生きた。

*3:和じゃなくて積であることに注意。等比数列の和の公式は使えない!

*4:適当に改題したら数字が大きくなりすぎてしまいました。最後は電卓を使って解いてます(笑)