Milindaの書斎

読んだこと、考えたことなどを書き留めます。外国語はたまに。

数学の宿題 2


高校1年の範囲なら何とかなるかなと思ったので、数列の問題を作ってみました(改題ですが)。

※MathMLとかよく分からないので、あまり見やすい数式ではありません。すみません。

※半角全角の使い分け、スペースの入れ方等にこだわりはなく「自分が見やすいかどうか」で適当に決めています。


【問題】
初項3,公差4の等差数列を{an}とするとき,
数列 ka1 + a3 ,ka2 + a4 ,ka3 + a5 ,・・・
の第20項がはじめて400以上となるような整数kの値を求めよ.
(新潟大 改題)


答えは下に。







【解答】
bn = kan + an+2(n = 1,2,3,4,・・・)とおく.
題意を満たすのは b19<400 ≦ b20 となるときである.
an = 3 + 4(n - 1)= 4n - 1 であるから,
b19 = ka19 + a21 = k(4・19 - 1)+(4・21 - 1)
= 75k + 83
b20 = ka20 + a22 = k(4・20 - 1)+(4・22 - 1)
= 79k + 87
したがって 75k + 83<400 ≦ 79k + 87
kについて解くと 313/79 ≦ k<317/75
これを満たす整数は4.