Milindaの書斎

読んだこと、考えたことなどを書き留めます。外国語はたまに。

数学の宿題を作ってみた


数学の問題も作りたくなったので、作ってみます。
といっても私は学生時代に数学が不得意でしたので、改題しかできませんが。

主に中学数学の応用問題を素材にしていくと思います(高校数学は教えられないので…笑)。


【1】
最小公倍数が900で、最大公約数が12である2つの自然数がある。この2つの自然数の積は( ① )で,条件を満たす自然数の組は( ➁ )つある。
(東京・成城高校 改題)


【2】
2つの正の整数A,B(A>B)があり、AB = 17496,A,Bの最小公倍数が648である。この条件のもとでAとBの和が最小になるのはA = (   )のときである。
(東京・明治大付明治高 改題)



答えは下に。








【1の解答】
最大公約数が12であるから、2つの自然数は12a,12bと表せる(a,bは正の整数,a<b).
すると最小公倍数は12abと表せる.
12ab = 900であるから、ab = 75
2つの自然数の積は 12a・12b = 12・12・75 = 10800
→①の解答
ab = 75 を満たす自然数の組は(1,75),(3,25),(5,15)の3つ.
したがって2つの自然数(12a,12b)の組も(12,900),(36,300),(60,180)の3つある.
→➁の解答


【2の解答】
AとBの最大公約数をGとすると,A,B,はそれぞれGa,Gbと表せる(aとbは正の整数で、互いに素とする。a>b).
するとAB = Ga・Gb = G^2・ab = 17496
また最小公倍数はGab = 648
よってG = G^2・ab ÷ Gab = 17496 ÷ 648 = 27
G = 27 より ab = 648 ÷ 27 = 24
ab = 24 を満たす(a,b)の組は(24,1)(12,2)(8,3)(6,4)の4つ.
(a,b)=(6,4)でA + B が最小になるので、このときA = 27・6 = 162


※検算はしていますが、もし数字の間違いがありましたらお気軽にコメントでご教示ください。